Guida: Sistemi di numerazione

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I sistemi di numerazione

Che cosa è un sistema di Numerazione ? E' un sistema posizionale in cui si determina una base, ovvero un numero, e si identifica il valore sulla base della presenza delle potenze di questa base.
Con un esempio diventa tutto più semplice. Prendiamo il numero (col sistema decimale) 273.
Innanzitutto è un sistema "posizionale" in quanto ogni posizione ha un suo preciso significato, in altre parole se scrivessi 723 o 372 (stesse cifre in posizioni diverse) otterrei dei valori differenti.
In seconda battuta valuto quante potenze del 10 (la base) siano presenti, partendo da zero.
Si parte da destra e la prima cifra che considero è il 3. Moltiplico il tre per 10 elevato allo 0. Tutti sappiamo che qualsiasi numero elevato a zero dà uno, per cui devo moltiplicare tre per uno, il risultato è 3.
Passo alla cifra successiva che è 7 e lo moltiplico per dieci (sempre la base) elevato alla 1 (ovvero 10), quindi 7 x 10 , che fa 70.
Per ultimo considero la terza cifra da destra (che è due) e la moltiplico per dieci elevato alla seconda (10x10 oppure 100), e ottengo 200. Ora sommando tre a settanta e a duecento ottengo il valore del numero indicato cioè 273.
Seguendo lo stesso criterio posso ottenere il valore di qualsiasi numero realizzato con qualsiasi base.

Ma perchè utilizziamo il sistema decimale ? E' il più conveniente?
E perchè i computer usano il sistema binario, e perché solo loro (il vecchio adagio 'Binario triste e solitario' non è riferito al sistema di numerazione....ma chi non ha colto il nesso chieda aiuto a qualche cinquanta-sessantenne). Ci sono altri sistemi di numerazione ?

Risposte:

Utilizziamo il decimale, cioè un sistema a base dieci, solo perchè abbiamo dieci dita e quindi siamo forniti di una calcolatrice decimale incorporata. Chi non ha mai utilizzato le dita per fare un calcolo, magari con l'aiuto del naso? Il problema è che questo 10 è piuttosto scomodo, non è assolutamente il più conveniente. Dieci, purtroppo, ha solo due divisori (due e cinque) e quindi abbiano difficoltà (ovvero dobbiamo utilizzare i decimali o le frazioni) se dobbiamo dividere questo numero per 3, 4 o 6, tanto per fare un esempio.
Un numero sicuramente più conveniente è il 12. Già lo usiamo nel calendario dei mesi e nell'orologio (anzi lì, ancora meglio, usiamo il 24, o il 12 x 2). Certo il 60 o 360 sarebbero ancora migliori dal punto di vista della divisibilità ma, se consideriamo che ogni sistema di numerazione ha tanti simboli (le cifre) quanto è il valore della base. Avere un sistema con 360 cifre differenti (o anche solo 60) sicuramente non è il massimo della comodità.
I computer, a loro volta, hanno bisognio di un sistema con un numero di 'cifre' molto basso in modo da poter indicare un numero (che poi è alla base di tutti i dati digitali) con due soli simboli: 'on' e 'off' ('acceso' o 'spento' - 'si' o 'no') o più semplicemente 0 e 1. Certo, il numero della base è così piccolo (2) che non abbiamo divisori e il numero di cifre di un numero, anche piuttosto piccolo, è molto grande ma questo al computer non crea problemi perchè è particolarmente veloce e non ha problemi di spazio.
Vediamo un esempio per chiarire meglio quanto ho appena illustrato. Vediamo con un sistema a base 2 (binario), 10 (decimale), 16 (esadecimale) la differenza di dimensione di uno stesso numero.

Prendiamo in numero 103 nel sistema decimale. Stiamo utilizzando dieci simboli (da 0 a 9) e abbiamo una lunghezza 3 cifre.
Calcoliamo lo stesso numero in binario e otteniamo: "1101110" utilizziamo due soli simboli (0 e 1) però il numero è lungo ben 6 cifre.
Vediamo in esadecimale: "6C" , quì è il contrario, si utilizzano ben 16 simboli 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F ma il numero risultante è molto corto, cioè di solo due cifre.
Ne consegue che aumentando la base (e quindi le cifre, o i simboli, utilizzati) diminuisce la lunghezza del numero.
Anche in questo campo è un problema di coperta corta. Non è possibile avere un sistema a base molto bassa (con poche cifre da utilizzare) e numeri molto corti. Ecco perchè tutti i sistemi utilizzati sono sempre un compromesso fra i due vantaggi e, come dicevo prima, avere un calcolatore incorporato in fondo agli arti superiori (le mani) ha fatto si che tutti i più noti sistemi avessero come base 5 o 10 o 20 (una mano, due mani o mani e piedi). Laddove la logica (o la teoria) ha avuto il sopravvento sulla pratica sono nati i sistemi a base 2, 12, 16 o 60.
Per avere le idee più chiare iniziamo a vedere tutti i sistemi di numerazione noti.

Il sistema Decimale (a base 10)

E' quello che utilizziamo per la maggior parte dei nostri bisogni (di numerazione) e lo conosciamo tutti molto bene, per cui non c'è bisogno di spendere altre parole a riguardo. Anzi verrà usato, quando necessario, come termine di paragone.

Il sistema a base 12

o ritengo che sia il più comodo, dal punto di vista pratico, infatti lo usiamo correntemente nel calcolo del tempo, i mesi e le ore. Nella geografia celeste (le case dei segni zodiacali), in alcuni sistemi di misurazione anglosassoni (le 12 once per fare una libbra e i 12 pence per fare uno scellino, un piede 12 pollici). Non solo, ma anche nella numerazione in lingua inglese il suffisso "teen" è usato dal 13 in poi, come ad indicare che i valori precedenti precedenti siano i numeri di base.

Il sistema a base 60

Parente stretto del sistema precedente è quello a base 60. Probabilmente è frutto di una integrazione fra il portentoso 12 e il 5 che, come vedremo è uno delle basi di numerazione più antiche in quanto si rifà all'uso delle dita di una mano.
Se avessimo voglia di ricordarci 60 simboli diversi avremmo un sistema estremamente potente. I minuti e i secondi sono infatti 60 e siamo ben contenti quando possiamo dividere un'ora in 2,3,4,5,6,10,12,15,20 e 30 parti. 60 è il numero che vanta il maggior numero di divisori, ovviamente in rapporto alla sua dimensione.
Il sistema sessagesimale era usato anticamente dagli assiri (ma anche sumeri ed altre cività mesopotamiche) e ci ha lasciato ricordi nella misurazione degli angoli (che però sono a 360°). Nella wikipedia sono presenti vari dettagli su questo ad altri sistemi di numerazione.

Il sistema a base 5

Entriamo nella fascia dei sitemi manuali (come anche il 10 e il 20), ovvero quelli che si basano sul conteggio delle dita di una o di entrambe le mani, oppure coll'aggiunta dei piedi. Questi antichissimi pallottolieri sono stati i primi strumenti di calcolo che quasi tutti (eccetto qualche ladro arabo o vittima di brutti incidenti) abbiamo la possibiltà di utilizzare in ogni momento.
Il sistema che più di ogni altro ha risentito dell'influenza del 5 è quello romano nel quale, questo valore e i suoi multipli, hanno l'onore di avere una propria cifra (V per il cinque, L per cinquanta e D per cinquecento).

Il sistema a base 20

Come abbiamo detto per il 5 questo sistema ne amplia la potenzialità sfruttando tutti e quattro gli arti. E', come il 60, una integrazione fra due sistemi per aumentarne il numero di divisori e quindi migliorarne la praticità.
Ne abbiamo cenni sia nella cultura anglosassone (i 20 scellini necessari per un pound e l'antico significato del termine score di origine sassone è proprio '20') e in quella francese (ancora oggi il numero 80 viene chiamato 4volte20).

Il sistema a base 1

Anche se questo non lo possiamo considerare un sistema di numerazione vorrei solo ricordare uno strumento in cui non esiste alcuna numerazione simbolica. Ogni elemento da considerare viene riportato individualmente con un un punto o una barra. Indubbiamente questo è un sistema universale e probabilmente è stato il primo sistema di numerazione. Tuttavia anche se è quasi accettabile per numeri molto piccoli, è assolutamente inaccettabile per numeri appena un pò più grandi. Lo strumento a cui facevo riferimento è il dado. Su ogni faccia ci sono tanti punti quanto è il numero da segnalare. Per fortuna il cubo ha solo sei facce già se volessimo utilizzare lo stesso sistema di numerazione per la roulette riuscite ad immaginare che confusione sui numeri finali (per esempio 34, 35 e 36) se invece di due cifre ci fossero un insieme di 34 o più punti?

Il sistema binario (a base 2)

Il sistema binario è quello che viene usato sui computer e, come ho già accennato prima, compensa la scomodità della lunghezza dei numeri con la semplicità di avere due sole cifre. Ogni cifra può essere utilizzata in molti modi. Noi usiamo lo 0 e l'1 perchè li prendiamo in prestito dalla nostra numerazione ma se avessimo voluto utilizzare due simboli qualunque (un buco e un "non buco" come nelle vecchie schede meccanografiche oppure ON e OFF oppure SI e NO) o una tensione di corrente presente o assente (come, sommariamente, è la soluzione adottata dalle memorie dei calcolatori) sarebbe stata la stessa cosa. Per ovviare alla complessità di lettura di un numero binario è venuto in soccorso il sistema esadecimale.



Il sistema esadecimale (a base 16)

Oltre che un sistema a se stante può essere considerato un sistema che offre una più semplice chiave di lettura del sistema binario. Per ottenere un numero esadecimale possiamo anche ragguppare le cifre del sistema binario a gruppi di quattro (se può essere più comodo mettiamo a sinistra, come nel decimale, degli zeri non significativi fino a formare un certo numero di gruppi di quattro "zeri e uno"). Facciamo riferimento alla tabella sopra riportata. Se dovessi scrivere il numero decimale 13 in binario (bin) dovrei scrivere 1101 e se dovessi scrivere 18 scriverei 10010 o meglio 0001 0010 (con l'aggiunta di tre zeri non significativi a sinistra). In esadecimale (o hex per gli addetti ai lavori) avrei avuto 'D' o '0D' (e si legge 'D' o 'zero-D') per il 13. Il 18 diverebbe "12" (che si legge uno-due e non dodici). Mentre nel sistema binario si preferisce raggruppare le cifre in blocchi di 4 cifre (come dicevo prima) nel sistema esadecimale si usano piccoli blocchi di due cifre.
In pratica ogni insieme di quattro cifre binarie diviene una cifra esadecimale e poichè con 4 cifre binarie si possono fare 16 combinazioni diverse abbiamo un sistema con 16 cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,A,B,C,D,E,F) delle quali, per comodità le prime 10 sono uguali aquelle decimali e poi sono state prese in prestito dall'alfabeto le prime sei lettere da A ad F.



Torniamo al nostro 18 (in decimale) che in binario diviene 0001 0010 , per semplificare leggiamo in esadecimale ; 0001 è 1 e 0010 è un 2 quindi 18 in decimale è un 12 in esadecimale. Con numeri piccoli la differenza di lunghezza non è particolarmente evidente infatti nel nostro caso sia 18 (dec) che 12 (hex) hanno due cifre ma con numeri più corposi possiamo scrivere in esadecimale numeri più corti di come verrebbero rappresentati in decimale. Nella tabellina a destra sono evidenziati i valori decimali 255 e 128 (dec) come vengono trasformati in binario e nei due sistemi di supporto esadecimale e ottale.

Il sistema ottale (a base

Se applichiamo la stessa logica che ho descritto per l'esadecimale su una base di soli otto cifre otteniamo l'ottale. Anche questo è un sistema di supporto al binario e, come tale, è stato usato in ambito informatico ma è molto meno diffuso rispetto all'esadecimale.

Il sistema a base 7

Non penso che esista un sistema con tale base, però abbiamo dei riferimenti che in qualche modo ci portano a pensare "in base 7". Sto parlando della musica il cui pentagramma si svolge su cicli di 7 note (anche se copresi gli 'accidenti' ci basiamo su 12 semitoni, ma io mi voglio riferisco alle armonie o, se è più semplice, ai tasti bianchi del pianoforte) e ai giorni della settimana. Il primo si basa su un sistema universale e il secondo, probabilmente sulle fasi lunari. Ma vi risparmio un sistema a base 28.

Il sistema a base 3

Nulla ci vieta di inventarci un sistema avente come base un numero qualunque, per esempio anche un numero dispari. Certo non ritengo che possa essere molto utile ma nessuno ce lo può vietare anche perchè funziona perfettamente come tutti gli altri sistemi già visti finora.